指數近世代數

① 抽象代數中證明指數為素數的子群必然是g的極大子群

設H《G且[G:H]=p為素數。
若存在G的子群M使得H<M,根據Lagrange定理|H|整除|M|,從而
[G:M]整除 [G:H]=p，所以[G:M]=1
即M=G
故H為極大子群

② 子群H={（1），（12）}在三次對稱群中的指數是多少

3。
H(1)={(1),(12)}=H(12)
H(13)={(13),(123)}=H(123)
H(23)={(23),(132)}=H(132)
H有三個右陪集，指數為3。

③ 近世代數群的指數是什麼

近世代數也俗稱抽象代數，「指數」的概念是在群中出現的。

④ 近世代數:證明:指數是2的子群必是正規子群

證明：設H<G,[G:H]=2,對G中任意元a,有兩種情況：
若a∉H，則aH≠H,Ha≠H，故G有陪集分解G=H∪Ha=H∪aH，所以Ha=aH=G-H
若a∈H，則顯然aH=Ha=H
因此，aH=Ha對一切a∈G都成立，即H是正規子群。證畢。

⑤ 本人閑時學近世代數，裡面有這樣的一道題，證明：如果有限p-群G只有一個指數為p的子群，則G是一個循環群

題目沒有問題么。。？ 應該有兩個吧。 單位元也構成群。
如果G不是循環群，那麼它裡面元素的階都應該小於p。因為e屬於G，e,e^2,e^3……都屬於G，如果不是小於p，那麼G的階也就大於p

⑥ 求近世代數大神解答第六題，詳細點！

第（1）個是矩陣合同關系，
是等價關系。
第（2）個是矩陣置換相似關系，
也是等價關系。

實對稱陣合同等價於[Ep,0,0;0,-Eq,0;0,0,0],其中p,q分別為正負慣性指數.
合同變換保持慣性指數,[Ep,0,0;0,-Eq,0;0,0,0]給出了實對稱陣的合同標准型.
滿足p+q ≤ n的有序非負整數對(p,q)共(n+1)+n+...+1+0 = (n+2)(n+1)/2組.
即共有(n+2)(n+1)/2個合同等價類.

實對稱陣一定(正交)相似於實對角陣,
而兩個對角陣(正交)相似當且僅當特徵值完全相同(不計次序).
因此實對稱陣的(正交)相似標准型為對角元λ1 ≤ λ2 ≤...≤ λn的實對角陣.
等價類有無窮多個.

⑦ 怎樣算近世代數的左右陪集

這個看定義吧，很簡單，陪集就是一個分劃
左陪集aH={ah:對一切a∈G }，由於左陪集構成了一個分劃，取一個不在aH中的G的元b，則
bH≠aH，類似取c∈G-aH-bH，……,一直到陪集包含了G中所有元為止！
注意對有限群G，H的陪集（不論左或右）指數都是│G│/│H│

⑧ 如圖，中間的作業，近世代數求指數，

6
不難證明Q(2^1/3+3^1/2)=Q(2^1/3,3^1/2),所以[Q(2^1/3+3^1/2):Q]
=[Q(2^1/3，3^1/2):Q]=[Q(2^1/3,3^1/2):Q(2^1/3)][Q(2^1/3):Q]
=3[Q(2^1/3)(3^1/2):Q(2^1/3)],
顯然3^1/2∉Q(2^1/3），故[Q(2^1/3)(3^1/2):Q]=2,因此[Q(2^1/3+3^1/2):Q]=3*2=6