群論中指數

㈠ 群論中，什麼叫做「n個文字的置換群」

這里引用的是科學出版社楊勁根編著的《近世代數講義》中的定義哦~
定義比較多，層層往前QAQ~那麼開始惹O(∩_∩)O
1：設n是一個自然數，從集合｛1，2，3，…，n｝到它自身的一個雙射稱為n個文字的一個置換。
2：這里的1，2，3，…，n並沒有數量上的意義，只是n個方便的符號而已，這就是為什麼把它們叫做「文字」而不是「數字」。
3：把n個文字的置換全體所構成的集合記作Sn，可以知道Sn是一個有限集合，含n!（n的階乘）個元素。
4：在Sn中引進二元運算，設σ，τ屬於Sn，規定στ為這兩個映射的復合，復合的次序為先τ後σ，即映射στ把i映成σ[τ(i)]。
5：Sn在如上的定義的二元運算下構成一個n!階的有限群。
6：Sn的任何一個子群叫做一個置換群，Sn本身叫做的n個文字的對稱群。
…………
其實別看文字這么多（……-_-||），其實就是說定義了所有的置換為一個集合，再在集合上定義了一個二元運算使其成為一個群，然後它的子群就是置換群咯O(∩_∩)O
加油加油o(≧v≦)o

㈡ 抽象代數:群論裡面的中括弧[]代表什麼含義

[]是等價類的意思吧
lp……學過太久了，看到lp第一反應是李普希斯條件……微分方程的，顯然不對吧

㈢ 在群論中order什麼意思

一般譯成「階」。 一個群 G 的order 就是它的勢（或叫基數）記作|G| .
G 的一個元素 g 的order 指 g 生成的（G的循環）子群的階 ，記作 o(g) , ord(g) 或者 |g|.
也就是說
o(g) = | <g> |
o(g) 等於 使 g^n=1 的最小的正整數n , 但當這樣的n 不存在時記 o(g) = ∞.
希望能對您有所幫助。

㈣ 群論中階數和維數是怎麼定義的，有什麼不同

對於群中的任意一個元素a若自乘n次以後就等於自身，即a^n=a，則這個群的階數就是n。對於循環群，n是有限的。否則是無限的。
維數我不記得有出現在群論中了。難道是群中元素的個數？

㈤ 離散數學中的群論裡面（Z12,+12）中的Z12，+12分別是什麼意思

Z12表示非負整數：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11組成的集合
+12表示加法運算，取12的余數，比如：7+8 = 3 3 + 4 = 7 9 + 3 = 0等等

㈥ 群論中的完全類是什麼

簡單點說就是一個共軛類（conjugacy class）
錯了。
完全類：若a屬於這個類，則a的所有共軛（所有之變換X取遍所有的群中元素）也屬於這個類

㈦ 群論有什麼用啊

群論，是數學概念。在數學和抽象代數中，群論研究名為群的代數結構。群在抽象代數中具有基本的重要地位：許多代數結構，包括環、域和模等可以看作是在群的基礎上添加新的運算和公理而形成的。群的概念在數學的許多分支都有出現，而且群論的研究方法也對抽象代數的其它分支有重要影響。

群論的重要性還體現在物理學和化學的研究中，因為許多不同的物理結構，如晶體結構和氫原子結構可以用群論方法來進行建模。於是群論和相關的群表示論在物理學和化學中有大量的應用。

(7)群論中指數擴展閱讀：

群的概念引發自多項式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽羅瓦在18世紀30年代開創。在得到來自其他領域如數論和幾何學的貢獻之後，群概念在1870年左右形成並牢固建立。現代群論是非常活躍的數學學科，它以自己的方式研究群。為了探索群，數學家發明了各種概念來把群分解成更小的、更好理解的部分，比如置換群、子群、商群和單群等。

㈧ 關於群論

伽羅瓦群論的誕生

方程論是古典代數的中心課題。直到19世紀中葉，代數仍是一門以方程式論為中心的數學學科，代數方程的求解問題依然是代數的基本問題，特別是用根式求解方程。所謂方程有根式解（代數可解），就是這個方程的解由該方程的系數經過有限次加減乘除以及開整數次方等運算表示出來的。群論也就是起源於對代數方程的研究，它是人們對代數方程求解問題邏輯考察的結果。
一、伽羅瓦群論產生的歷史背景
從方程的根式解法發展過程來看，早在古巴比倫數學和印度數學的記載中，他們就能夠用根式求解一元二次方程ax2+bx+c=0，給出的解相當於+，，這是對系數函數求平方根。接著古希臘人和古東方人又解決了某些特殊的三次數字方程，但沒有得到三次方程的一般解法。這個問題直到文藝復興的極盛期（即16世紀初）才由義大利人解決。他們對一般的三次方程x3+ax2+bx+c=0，由卡丹公式解出根 x= + ，其中p = ba2，q = a3，顯然它是由系數的函數開三次方所得。同一時期，義大利人費爾拉里又求解出一般四次方程x4+ax3+bx2+cx+d=0的根是由系數的函數開四次方所得。
用根式求解四次或四次以下方程的問題在16世紀已獲得圓滿解決，但是在以後的幾個世紀里，探尋五次和五次以上方程的一般公式解法卻一直沒有得到結果。1770年前後，法國數學家拉格朗日轉變代數的思維方法，提出方程根的排列與置換理論是解代數方程的關鍵所在，並利用拉格朗日預解式方法，即利用1的任意n次單位根 （ n =1）引進了預解式x1+ x2+ 2x3+…+ n-1xn，詳細分析了二、三、四次方程的根式解法。他的工作有力地促進了代數方程論的進步。但是他的這種方法卻不能對一般五次方程作根式解，於是他懷疑五次方程無根式解。並且他在尋求一般n次方程的代數解法時也遭失敗，從而認識到一般的四次以上代數方程不可能有根式解。他的這種思維方法和研究根的置換方法給後人以啟示。
1799年，魯菲尼證明了五次以上方程的預解式不可能是四次以下的，從而轉證五次以上方程是不可用根式求解的，但他的證明不完善。同年，德國數學家高斯開辟了一個新方法，在證明代數基本理論時，他不去計算一個根，而是證明它的存在。隨後，他又著手探討高次方程的具體解法。在1801年，他解決了分圓方程xp-1=0（p為質數）可用根式求解，這表明並非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程還是部分高次方程的問題需進一步查明。
隨後，挪威數學家阿貝爾開始解決這個問題。1824年到1826年，阿貝爾著手考察可用根式求解的方程的根具有什麼性質，於是他修正了魯菲尼證明中的缺陷，嚴格證明：如果一個方程可以根式求解，則出現在根的表達式中的每個根式都可表示成方程的根和某些單位根的有理數。並且利用這個定理又證明出了阿貝爾定理：一般高於四次的方程不可能代數地求解。接著他進一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的問題。在高斯分圓方程可解性理論的基礎上，他解決了任意次的一類特殊方程的可解性問題，發現這類特殊方程的特點是一個方程的全部根都是其中一個根（假設為x）的有理函數，並且任意兩個根q1(x)與q2(x)滿足q1q2(x)=q2q1(x)，q1，q2為有理函數。現在稱這種方程為阿貝爾方程。其實在對阿貝爾方程的研究中已經涉及到了群的一些思想和特殊結果，只是阿貝爾沒能意識到，也沒有明確地構造方程根的置換集合（因為若方程所有的根都用根x1來表示成有理函數qj(x1)，j=1,2,3,…,n，當用另一個根xi代替x1時，其中1〈i≤n ，那麼qj(xi)是以不同順序排列的原方程的根，j=1,2,…,n。實際上應說根xi=q1(xi),q2(xi),…,qn(xi)是根x1,x2,…,xn的一個置換），而僅僅考慮可交換性q1q2(x)=q2q1(x)來證明方程只要滿足這種性質，便可簡化為低次的輔助方程，輔助方程可依次用根式求解。
阿貝爾解決了構造任意次數的代數可解的方程的問題，卻沒能解決判定已知方程是否可用根式求解的問題。法國數學家伽羅瓦正是處在這樣的背景下，開始接手阿貝爾未競的事業。
二.伽羅瓦創建群理論的工作
伽羅瓦仔細研究了前人的理論，特別是拉格朗日、魯菲尼、高斯、阿貝爾等人的著作，開始研究多項式方程的可解性理論，他並不急於尋求解高次方程的方法，而是將重心放在判定已知的方程是否有根式解。如果有，也不去追究該方程的根究竟是怎樣的，只需證明有根式解存在即可。峰
1.伽羅瓦群論的創建
伽羅瓦在證明不存在一個五次或高於五次的方程的一般根式解法時，與拉格朗日相同，也從方程根的置換入手。當他系統地研究了方程根的排列置換性質後，提出了一些確定的准則以判定一個已知方程的解是否能通過根式找到，然而這些方法恰好導致他去考慮一種稱之為「群」的元素集合的抽象代數理論。在1831年的論文中，伽羅瓦首次提出了「群」這一術語，把具有封閉性的置換的集合稱為群，首次定義了置換群的概念。他認為了解置換群是解決方程理論的關鍵，方程是一個其對稱性可用群的性質描述的系統。他從此開始把方程論問題轉化為群論的問題來解決，直接研究群論。他引入了不少有關群論的新概念，從而也產生了他自己的伽羅瓦群論，因此後人都稱他為群論的創始人。
對有理系數的n次方程 x+axn-1+a2xn-2+…+an-1x+an=0 （1）
假設它的n個根x1,x2,…,xn的每一個變換叫做一個置換，n個根共有n!個可能的置換，它們的集合關於置換的乘法構成一個群，是根的置換群。方程的可解性可以在根的置換群的某些性質中有所反映，於是伽羅瓦把代數方程可解性問題轉化為與相關的置換群及其子群性質的分析問題。現在把與方程聯系起的置換群（它表現了方程的對稱性質）稱為伽羅瓦群，它是在某方程系數域中的群。一個方程的伽羅瓦群是對於每一個其函數值為有理數的關於根的多項式函數都滿足這個要求的最大置換群，也可以說成對於任一個取有理數值的關於根的多項式函數，伽羅瓦群中的每個置換都使這函數的值不變。
2.伽羅瓦群論的實質
我們可以從伽羅瓦的工作過程中，逐步領悟伽羅瓦理論的精髓。首先分析一下他是怎樣在不知道方程根的情況下，構造伽羅瓦群的。仍然是對方程（1），設它的根x1,x2,…,xn中無重根，他構造了類似於拉格朗日預解式的關於x1,x2,…,xn的一次對稱多項式 △1=a1x1+a2x2+…+anxn，其中ai(i=1,2,3,…,n)不必是單位根，但它必是一些整數且使得n!個形如△1的一次式△1,△2,…,△n!各不相同，接著又構造了一個方程 =0 (2)
該方程的系數必定為有理數（可由對稱多項式定理證明），並且能夠分解為有理數域上的不可約多項式之積。設f(x)=是的任意一個給定的m次的不可約因子，則方程(1)的伽羅瓦群是指n!個△i中的這m個排列的全體。同時他又由韋達定理知伽羅瓦群也是一個對稱群，它完全體現了此方程的根的對稱性。但是計算一個已知方程的伽羅瓦群是有一定困難的，因此伽羅瓦的目的並不在於計算伽羅瓦群，而是證明：恆有這樣的n次方程存在，其伽羅瓦群是方程根的可能的最大置換群s(n)，s(n)是由n!個元素集合構成的，s(n)中的元素乘積實際上是指兩個置換之積。現在把s(n)中的元素個數稱為階，s(n)的階是n!。
伽羅瓦找出方程系數域中的伽羅瓦群g後，開始尋找它的最大子群h1，找到h1後用一套僅含有理運算的手續（即尋找預解式）來找到根的一個函數。的系數屬於方程的系數域r，並且在h1的置換下不改變值，但在g的所有別的置換下改變值。再用上述方法，依次尋找h1的最大子群h2，h2的最大子群h3，…於是得到h1,h2,…,hm，直到hm里的元素恰好是恆等變換（即hm為單位群i）。在得到一系列子群與逐次的預解式的同時，系數域r也隨之一步步擴大為r1,r2,…,rm，每個ri對應於群hi。當hm=i時，rm就是該方程的根域，其餘的r1,r2,…,rm-1是中間域。一個方程可否根式求解與根域的性質密切相關。例如，四次方程 x4+px2+q=0 (3)
p與q獨立，系數域r添加字母或未知數p、q到有理數中而得到的域，先計算出它的伽羅瓦群g，g是s(4)的一個8階子群，g={e，e1，e2，…e7}，其中

e=，e1=，e2=，e3=，e4=，e5=， e6=， e7=。

要把r擴充到r1，需在r中構造一個預解式，則預解式的根，添加到r中得到一個新域r1，於是可證明原方程（3）關於域r1的群是h1，h1={e，e1，e2，e3}，並發現預解式的次數等於子群h1在母群g中的指數8÷4=2（即指母群的階除以子群的階）。第二步，構造第二個預解式，解出根 ，於是在域r1中添加得到域r2，同樣找出方程（3）在r2中的群h2，h2={e，e1}，此時，第二個預解式的次數也等於群h2在h1中的指數4÷2=2。第三步，構造第三個預解式，得它的根 ，把添加到r2中得擴域r3，此時方程（3）在r3中的群為h3，h3={e}，即h3=i，則r3是方程（3）的根域，且該預解式的次數仍等於群h3在h2中的指數2÷1=2。在這個特殊的四次方程中，系數域到根域的擴域過程中每次添加的都是根式，則方程可用根式解。這種可解理論對於一般的高次方程也同樣適用，只要滿足系數域到根域的擴域過程中每次都是添加根式，那麼一般的高次方程也能用根式求解。
現仍以四次方程（3）為例，伽羅瓦從中發現了這些預解式實質上是一個二次的二項方程，既然可解原理對高次方程也適用，那麼對於能用根式求解的一般高次方程，它的預解式方程組必定存在，並且所有的預解式都應是一個素數次p的二項方程xp=a。由於高斯早已證明二項方程是可用根式求解的。因此反之，如果任一高次方程所有的逐次預解式都是二項方程，則能用根式求解原方程。於是，伽羅瓦引出了根式求解原理，並且還引入了群論中的一個重要概念「正規子群」。
他是這樣給正規子群下定義的：設h是g的一個子群，如果對g中的每個g都有gh=hg，則稱h為g的一個正規子群，其中gh表示先實行置換g，然後再應用h的任一元素，即用g的任意元素g乘h的所有置換而得到的一個新置換集合。定義引入後，伽羅瓦證明了當作為約化方程的群(如由g 約化到h1)的預解式是一個二項方程xp=a (p為素數)時，則h1是g的一個正規子群。反之，若h1是g的正規子群，且指數為素數p，則相應的預解式一定是p次二項方程。他還定義了極大正規子群：如果一個有限群有正規子群，則必有一個子群，其階為這有限群中所有正規子群中的最大者，這個子群稱為有限群的極大正規子群。一個極大正規子群又有它自己的極大正規子群，這種序列可以逐次繼續下去。因而任何一個群都可生成一個極大正規子群序列。他還提出把一個群g生成的一個極大正規子群序列標記為g、h、i、j…, 則可以確定一系列的極大正規子群的合成因子[g/h]，[h/i]，[i/g]…。合成因子[g/h]=g的階數/ h的階數。對上面的四次方程(3)，h1是g的極大正規子群， h2是h1的極大正規子群，h3又是h2的極大正規子群，即對方程(3)的群g 生成了一個極大正規子群的序列g、h1、h2、h3。
隨著理論的不斷深入，伽羅瓦發現對於一個給定的方程，尋找它在伽羅瓦群及其極大不變子群序列完全是群論的事。因此，他完全用群論的方法去解決方程的可解性問題。最後，伽羅瓦提出了群論的另一個重要概念「可解群」。他稱具有下面條件的群為可解群：如果它所生成的全部極大正規合成因子都是質數。
根據伽羅瓦理論，如果伽羅瓦群生成的全部極大正規合成因子都是質數時，方程可用根式求解。若不全為質數，則不可用根式求解。由於引入了可解群，則可說成當且僅當一個方程系數域上的群是可解群時，該方程才可用根式求解。對上面的特殊四次方程(3)，它的[g/h]=8/4=2，[h1/h2]=2/1=2，2為質數，所以方程(3)是可用根式解的。再看一般的n次方程，當n=3時，有兩個二次預解式t2=a和t3=b，合成序列指數為2與3，它們是質數，因此一般三次方程可根式解。同理對n=4，有四個二次預解式，合成序列指數為2，3，2，2，於是一般四次方程也可根式求解。一般n次方程的伽羅瓦群是s(n)，s(n)的極大正規子群是a(n) (實際a(n)是由s(n)中的偶置換構成的一個子群。如果一個置換可表為偶數個這類置換之積，則叫偶置換。)，a(n)的元素個數為s(n)中的一半，且a(n)的極大正規子群是單位群i，因此[s(n)/a(n)]=n!/(n!/2)=2，[a(n)/i]=(n!/2)/1=n!/2， 2是質數，但當n ≥5時，n！/2不是質數，所以一般的高於四次的方程是不能用根式求解的。至此，伽羅瓦完全解決了方程的可解性問題。
順帶提一下，阿貝爾是從交換群入手考慮問題的，他的出發點與伽羅瓦不同，但他們的結果都是相同的，都為了證其為可解群，並且伽羅瓦還把阿貝爾方程進行了推廣，構造了一種現在稱之為伽羅瓦方程的方程，伽羅瓦方程的每個根都是其中兩個根的帶有系數域中系數的有理函數。
三.伽羅瓦群論的歷史貢獻
伽羅瓦創立群論是為了應用於方程論，但他並不局限於此，而是把群論進行了推廣，作用於其他研究領域。可惜的是，伽羅瓦群論的理論畢竟太深奧，對十九世紀初的人們來說是很難理解的，連當時的數學大師都不能理解他的數學思想和他的工作的實質，以至他的論文得不到發表。更不幸的是伽羅瓦在二十一歲時便因一場愚蠢的決斗而早逝，我們不得不為這位天才感到惋惜。到十九世紀六十年代，他的理論才終於為人們所理解和接受。
伽羅瓦群理論被公認為十九世紀最傑出的數學成就之一。他給方程可解性問題提供了全面而透徹的解答，解決了困擾數學家們長達數百年之久的問題。伽羅瓦群論還給出了判斷幾何圖形能否用直尺和圓規作圖的一般判別法，圓滿解決了三等分任意角或倍立方體的問題都是不可解的。最重要的是，群論開辟了全新的研究領域，以結構研究代替計算，把從偏重計算研究的思維方式轉變為用結構觀念研究的思維方式，並把數學運算歸類，使群論迅速發展成為一門嶄新的數學分支，對近世代數的形成和發展產生了巨大影響。同時這種理論對於物理學、化學的發展，甚至對於二十世紀結構主義哲學的產生和發展都發生了巨大的影響。

bbs.lunqun.com/domain.php 論群網

可以去看看

㈨ 群論中C2v群的各個操作是什麼意思

請參考下面的網址

㈩ 求教大神一道群論的問題～設R是群G任一確定元素,證明群G中所有與R對易的元素集合構成群G的一個子群。

生長於海拔600－1400米的地區，多見於河谷、丘陵、山坡、民居附近，常用於栽培。柚子為芸香科常綠喬木，高5—10米，葉常綠，每片葉子由一大一小兩片葉片組成，形似葫蘆；花期2—5月，果實碩大，扁球形或梨形，最重者可達3公斤，果皮光滑