求指數衰減振盪信號xteatsinω0t的頻譜

❶ 求指數函數x（t）=sin(ψt)e^(-at)的頻譜

函數的頻譜亦即它的傅里葉變換，見鏈接圖片

❷ 為什麼在連續時間信號里頻率ω0+2π和頻率ω0是不一樣的，但在離散時間復指數信號就是一樣的

建議樓主買一本奧本海姆的書，這里主要的原因在於離散時間復指數信號的變數n取值只能是整數范圍，因此將exp{j(ω0+2π)n}展開會發現無論n取何值exp{j2πn}=cos(2πn)+jsin(2πn)=1,這個等式在離散的情況下是恆等的,然而將離散變為連續後,exp{j2πt}=cos(2πt)+jsin(2πt),t是可以取任意實數的，故exp{j2πt}=cos(2πt)+jsin(2πt)不恆等於1即exp{j(ω0+2π)t}除了在t取正整數以外，是不等於ecp{jω0n}的，完畢，有問題可以追問~~分分分

❸ 頻譜分析中如何選擇合適的窗函數

加窗是為了減小泄漏!1、信號截斷及能量泄漏效應 數字信號處理的主要數學工具是傅里葉變換。應注意到，傅里葉變換是研究整個時間域和頻率域的關系。然而，當運用計算機實現工程測試信號處理時，不可能對無限長的信號進行測量和運算，而是取其有限的時間片段進行分析。做法是從信號中截取一個時間片段，然後用觀察的信號時間片段進行周期延拓處理，得到虛擬的無限長的信號，然後就可以對信號進行傅里葉變換、相關分析等數學處理。 周期延拓後的信號與真實信號是不同的，下面從數學的角度來看這種處理帶來的誤差情況。設有餘弦信號x（t）在時域分布為無限長（- ∞，∞），將截斷信號的譜XT(ω)與原始信號的譜X（ω）相比，它已不是原來的兩條譜線，而是兩段振盪的連續譜。這表明原來的信號被截斷以後，其頻譜發生了畸變，原來集中在f0處的能量被分散到兩個較寬的頻帶中去了，這種現象稱之為頻譜能量泄漏（Leakage）。 信號截斷以後產生的能量泄漏現象是必然的，因為窗函數w(t)是一個頻帶無限的函數，所以即使原信號x(t)是限帶寬信號，而在截斷以後也必然成為無限帶寬的函數，即信號在頻域的能量與分布被擴展了。又從采樣定理可知，無論采樣頻率多高，只要信號一經截斷，就不可避免地引起混疊，因此信號截斷必然導致一些誤差，這是信號分析中不容忽視的問題。 如果增大截斷長度T，即矩形窗口加寬，則窗譜W（ω）將被壓縮變窄（π／T減小）。雖然理論上講，其頻譜范圍仍為無限寬，但實際上中心頻率以外的頻率分量衰減較快，因而泄漏誤差將減小。當窗口寬度T趨於無窮大時，則譜窗W（ω）將變為δ（ω）函數，而δ（ω）與X（ω）的卷積仍為H（ω），這說明，如果窗口無限寬，即不截斷，就不存在泄漏誤差。 為了減少頻譜能量泄漏，可採用不同的截取函數對信號進行截斷，截斷函數稱為窗函數，簡稱為窗。泄漏與窗函數頻譜的兩側旁瓣有關，如果兩側p旁瓣的高度趨於零，而使能量相對集中在主瓣，就可以較為接近於真實的頻譜，為此，在時間域中可採用不同的窗函數來截斷信號。2、 常用窗函數 實際應用的窗函數，可分為以下主要類型： 冪窗：採用時間變數某種冪次的函數，如矩形、三角形、梯形或其它時間函數x(t)的高次冪； 三角函數窗：應用三角函數，即正弦或餘弦函數等組合成復合函數，例如漢寧窗、海明窗等； 指數窗。：採用指數時間函數，如e-st形式，例如高斯窗等。 下面介紹幾種常用窗函數的性質和特點。 (l) 矩形窗矩形窗使用最多，習慣上不加窗就是使信號通過了矩形窗。這種窗的優點是主瓣比較集中，缺點是旁瓣較高，並有負旁瓣，導致變換中帶進了高頻干擾和泄漏，甚至出現負譜現象。 (2) 三角窗三角窗亦稱費傑（Fejer）窗，是冪窗的一次方形式， 三角窗與矩形窗比較，主瓣寬約等於矩形窗的兩倍，但旁瓣小，而且無負旁瓣(3) 漢寧窗漢寧（Hanning）窗又稱升餘弦窗，漢寧窗可以看作是3個矩形時間窗的頻譜之和，它可以使用旁瓣互相抵消，消去高頻干擾和漏能。 漢寧窗與矩形窗的譜圖對比，可以看出，漢寧窗主瓣加寬（第一個零點在2π/T處）並降低，旁瓣則顯著減小。第一個旁瓣衰減一32dB，而矩形窗第一個旁瓣衰減-13dB。此外，漢寧窗的旁瓣衰減速度也較快，約為60dB/（10oct），而矩形窗為20dB/（10oct）。由以上比較可知，從減小泄漏觀點出發，漢寧窗優於矩形窗。但漢寧窗主瓣加寬，相當於分析帶寬加寬，頻率分辨力下降。 (4) 海明窗海明（Hamming）窗也是餘弦窗的一種，又稱改進的升餘弦窗，海明窗與漢寧窗都是餘弦窗，只是加權系數不同。海明窗加權的系數能使旁瓣達到更小。分析表明，海明窗的第一旁瓣衰減為-42dB。海明窗的頻譜也是由 3個矩形時窗的頻譜合成，但其旁瓣衰減速度為20dB/（10oct），這比漢寧窗衰減速度慢。海明窗與漢寧窗都是很有用的窗函數。 (5) 高斯窗是一種指數窗，高斯窗譜無負的旁瓣，第一旁瓣衰減達一55dB。高斯窗譜的主瓣較寬，故而頻率分辨力低。高斯窗函數常被用來截斷一些非周期信號，如指數衰減信號等。 除了以上幾種常用窗函數以外，尚有多種窗函數，如平頂窗、帕仁（Parzen）窗、布拉克曼（Blackman）窗、凱塞（kaiser）窗等。 對於窗函數的選擇，應考慮被分析信號的性質與處理要求。如果僅要求精確讀出主瓣頻率，而不考慮幅值精度，則可選用主瓣寬度比較窄而便於分辨的矩形窗，例如測量物體的自振頻率等；如果分析窄帶信號，且有較強的干擾雜訊，則應選用旁瓣幅度小的窗函數，如漢寧窗、三角窗等；對於隨時間按指數衰減的函數，可採用指數窗來提高信噪比。3、窗函數選擇指南如果在測試中可以保證不會有泄露的發生，則不需要用任何的窗函數（在軟體中可選擇uniform）。但是如同剛剛討論的那樣，這種情況只是發生在時間足夠長的瞬態捕捉和一幀數據中正好包含信號整周期的情況。如果測試信號有多個頻率分量，頻譜表現的十分復雜，且測試的目的更多關注頻率點而非能量的大小。在這種情況下，需要選擇一個主畔夠窄的窗函數，漢寧窗是一個很好的選擇。如果測試的目的更多的關注某周期信號頻率點的能量值，比如，更關心其EUpeak,EUpeak-peak,EUrms或者EUrms2，那麼其幅度的准確性則更加的重要，可以選擇一個主畔稍寬的窗，flattop窗在這樣的情況下經常被使用。對沖擊實驗的數據進行分析時，因為在數據幀開始段的一些重要信息會被一般的窗函數所衰減，因此可以使用force/exponential窗。Force窗一移去了數據幀末端的雜訊，對激勵信號有用。而exponential窗則確保響應信號在末端的振動衰減為零值。

❹ 關於調頻電路

你沒有很好的理解頻譜的概念。
頻譜相當於一個表示頻率成分的圖，在幅頻特性曲線上，一個頻率，在頻譜上是一個線（垂直於X軸），而高度就是這個頻率信號的幅度值。
當然，如果一個信號中有兩個以上的頻率，在頻譜上將出現兩條以上的線，這些線可能是分開的，也可能是緊挨著的(看這些信號頻率之間的關系，如果頻率靠得非常近，頻譜儀的靈敏度關系，也可能緊挨著)。
至於你說的調頻問題，首先你要明白，調頻的本質就是將信號電壓變化通過VCO轉換為頻率變化。由於兩者的對應關系並不是線性的，所以你看到的頻率也會很雜亂，會隨著時間變化而變化，某個特定時間點上你看到的某個頻率，在下一個檢測時間點上，未必一定就存在。各個時間段上的頻率值，包括頻率組成和幅度值都是不一樣的。
但調頻也有個特性就是，調頻已調信號的頻率雖然會變化，但它不會跳出一個范圍，它與中心頻率的偏離量就是最大頻偏。

❺ 頻譜定理

通過傅立葉正變換可以求一個時間信號f(t)的頻譜F(ω)，對F(ω)進行反變換可以確定其對應的時間信號f(t)，它們具有單值對應關系。它們之間的內在關系稱做頻譜定理。

1.線性性質

既滿足疊加性質又滿足比例性質的關系稱之為滿足線性關系。

設

則

推廣到多項求和仍然成立。

2.對稱性

設

則

證明

物探數字信號分析與處理技術

將上式中的ω換成t，t換成ω，則

物探數字信號分析與處理技術

說明:若f(t)的傅立葉變換為F(ω)，則F(t)的傅立葉變換為2πf(-ω)，除差一系數2π外，具有相同的形式，但橫坐標軸反轉。對於實偶函數，由於f(t)=f(-t)，其頻譜也是實偶函數F(ω)=F(-ω)，所以對於實偶函數，若

則

例已知方波脈沖的頻譜為 ，試求低通濾波器的頻譜函數F_ω0(ω)的時間特性F(t)。

由於方波脈沖函數是偶函數，根據對稱性質有， ，見圖3-3-1。

圖3-3-1 方波函數傅氏變換的對稱性質

3.展縮性質

若時間信號f(t)的波形沿時間軸壓縮a倍，變為f(at)，則f(at)的譜比f(t)的譜F(ω)沿頻率軸擴大a倍，而其幅度減小a倍，見圖3-3-2。

即

則

或

式中a為實數，

圖3-3-2 時間展縮性質

物探數字信號分析與處理技術

當a<0時，f(at)的頻譜為

物探數字信號分析與處理技術

由時間展縮性質，信號愈寬，所佔頻帶范圍愈窄;信號愈窄，所佔頻帶范圍愈寬。

4.延時性質

設

則

證明f(t-t₀)的頻譜

物探數字信號分析與處理技術

只要把上式中的t₀換成-t₀，就可得到f(t+t₀)的頻譜為

物探數字信號分析與處理技術

由於

所以

說明信號延遲t₀以後，其振幅譜保持不變，而相位譜各分量相應滯後一個相角ωt₀。ωt₀是ω的線性函數，稱為線性相位移動，以-ωt₀表示，負號表示滯後。一個波形延遲時間t₀後，波形保持不變，說明各頻率分量都相應延遲時間t₀，這樣其相角就延遲了ωt₀。

5.頻移

若信號f(t)的頻譜為F(ω)，即f(t)F(ω)，則

物探數字信號分析與處理技術

說明時間函數f(t)乘以一個復指數函數e^jω0t後的信號的頻譜將沿頻率軸正方向平移ω₀;若時間函數f(t)乘以e^-iω0t，則其頻譜將沿頻率軸負方向平移ω₀，即

物探數字信號分析與處理技術

綜合兩式

利用平移定理，求一個被高頻信號調制的振盪信號的譜時，可以直接由調制信號的譜通過頻移得到。

6.時域微分

若信號f(t)的頻譜為F(ω)，即f(t)F(ω)，

則

說明，對f(t)微分n次後的信號的頻譜函數等於原信號頻譜函數的F(ω)乘以因子(jω)ⁿ

證明根據傅立葉變換公式

物探數字信號分析與處理技術

所以

因為

推廣到n階，則有

利用時域微分性質，可根據時間函數的譜求其各階導數的譜。

例如δ(t)1，根據微分定理

物探數字信號分析與處理技術

7.時域積分

已知

則

證明因為

又

所以

又因為

比較以上兩式的右端

即

8.頻域微分

設時間函數

則

證明因為

所以

推廣到n階

物探數字信號分析與處理技術

9.共軛性質

設時間函數f(t)F(ω)其中f(t)為復時間函數，即f(t)=f₁(t)+if₂(t)，則

物探數字信號分析與處理技術

所以

說明:若f(t)是實時間函數，則f(t)=f^*(t)，於是F(ω)=F^*(-ω)或者F(-ω)=F^*(ω)即F(ω)是共軛對稱的。因此，對一個實時間函數f(t)，它的頻譜函數的實部R(ω)是偶對稱的，即R(-ω)=R(ω);其虛部是奇對稱的，即X(-ω)=-X(ω)。

10.翻轉性質

設連續時間函數為f(t)，則f(-t)為f(t)的翻轉信號。

翻轉定理:設信號f(t)的頻譜為F(ω)，則f(-t)的頻譜為F(-ω)

證明:設f(t)F(ω)，

則f(-t)的頻譜為

物探數字信號分析與處理技術

物探數字信號分析與處理技術

11.時域褶積

設時間函數f₁(t)F₁(ω)，f₂(t)F₂(ω)，f₁(t)和f₂(t)褶積積分的頻譜為F₁(ω)與F₂(ω)的乘積。

物探數字信號分析與處理技術

證明

利用延時定理

所以

物探數字信號分析與處理技術

12.頻域褶積

設時間函數f₁(t)F₁(ω)，f₂(t)F₂(ω)，f₁(t)和f₂(t)乘積的頻譜為F₁(ω)與F₂(ω)的褶積積分的1/2π倍。即

物探數字信號分析與處理技術

13.乘積性質

設時間函數f₁(t)F₁(ω)，f₂(t)F₂(ω)，則f₁(t)·f₂(t)對所有時間積分就等於它們的頻譜函數F₁(ω)本身和F₂(ω)的共軛函數(或F(ω)本身和F(ω)的共軛函數)對所有頻率的積分。即

物探數字信號分析與處理技術

證明

物探數字信號分析與處理技術

由於e^iωt=(e^-iωt)^*，而f₁(t)是實時間函數，所以

物探數字信號分析與處理技術

於是

物探數字信號分析與處理技術

同理

物探數字信號分析與處理技術

14.巴什瓦等式

設時間函數

物探數字信號分析與處理技術

物探數字信號分析與處理技術

或寫成

物探數字信號分析與處理技術

稱為巴什瓦等式。等式左邊表示的是信號的總能量，該等式表明，信號的總能量可用其頻譜的共軛乘積對所有的頻率積分得到。F^*₁(ω)F₂(ω)稱為互能譜密度，而|F(ω)^|2稱為能譜密度，分別表示如下

物探數字信號分析與處理技術

能譜密度

物探數字信號分析與處理技術

能譜密度又稱為功率譜。顯然信號的功率譜是偶函數，S(ω)=S(-ω)，它只與信號的振幅譜有關，而與信號的相位譜無關。說明振幅譜相同而相位譜不同的信號具有相同的功率譜。