㈠ 已知抛物线y=x2+kx-34k2（k为常数，且k＞0）．（1）证明：此抛物线与x轴总有两个不同的交点；（2）设抛物
（1）令y=0，则x2+kx-
k
2=0，
所以△=k
2-4×1×（-
）=k
2+3．
因为k
2是非负数，所以无论k取何值，k
2+3总是大于零，即k
2+3＞0，
所以，关于x的一元二次方程x
2+kx-
k
2=0总有两个不同的实数根，即抛物线y=x
2+kx-
k
2（k为常数，且k＞0）．与x轴总有两个不同的交点；
（2）根据题意，知
x
1+x
2=-k，x
1?x
2=-
k
2，
则
+
=
=
=
，即
=
，
解得，k=2，即k的值是2．
㈡ 设抛物线为y=x2-kx+k-1，根据下列各条件，求k的值．（1）抛物线的顶点在x轴上；（2）抛物线的顶点在y轴上
（1）抛物线的顶点在x轴上，即
=0，∴k=2；
（2）抛物线的顶点在y轴上，即x=-
=0，∴k=0；
（3）抛物线的顶点（-1，-2），即x=-
=-1，-
=2，∴k=1；
（4）抛物线经过原点，即k-1=0，∴k=1；
（5）当x=1时，y有最小值，即-
=1，k=2；
（6）y的最小值为-1，y=
(x?)2+k-1-，即k-1-=-1，解得：k=0或k=4．
㈢ 已知抛物线y=-x2+2kx-k2+k+1（k是常数）（1）通过配方，写出抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）求证：不论k
（制1）因为y=-x2+2kx-k2+k+1=-（x-k）2+k+1，
所以抛物线的顶点坐标是（k，k+1），对称轴是x=k．
（2）因为抛物线的顶点为（k，k+1），
所以
㈣ 已知抛物线y平方等于2x过点p(1,1)分别做斜率为k1,k2的抛物线的动弦
L：y-1=k(x-1) x=(y-1)/k+1
y²=-2x
y²=-2((y-1)/k+1)
ky²+2y+2k-2=0
Δ=4-4k(2k-2)=4(1-2k²+2k)
(1)只有一个公共点
Δ=0
4(1-2k²+2k)=0
1-2k²+2k=0
2k²-2k-1=0
k=(2±√(4+8))/4=(1±√3)/2
(2)有两个公共点
Δ>0
4(1-2k²+2k)>0
1-2k²+2k>0
2k²-2k-1
㈤ 已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求证1|FA|+1|FB|为定
证明：设过焦点F的直线方程为 y=k（x- ） 与y 2=2px联立消y得 k2(x?)2＝2px，
∴k2x2-（k2p+2p）x+=0，
∴x1+x2＝，x1x2=．
∴|FA|=x1+，|FB|=x2+，
∴+＝==．
㈥ 已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．求证：（1）x1x2为定
（1）抛物线的焦点为F（ ，0），设直线AB的方程为y=k（x-）（k≠0），
由
㈦ 已知抛物线y=x2+kx+k+3，根据下面的条件，分别求出k的值.(1)抛物线的...
解答:解:(1)抛物线的顶点在y轴上，即x=-
k
2
=0，解得:k=0;
(2)x=-
k
2
=2，解得k=-4;
(3)抛物线的顶点在x轴上，则
k2-4(k+3)
4
=0，解得k=-2或6;
(4)令y=0，则x2+kx+k+3=0，
所以，x1x2=k+3，x1+x2=-k，
所以，x1x2-(x1+x2)=2k+3=-5，
解得，k=-4.
㈧ 已知二次函数y=x2-（2k-1）x+k2-k （k为常数）（1）若该抛物线的对称轴为x＝32，求该抛物线的顶点坐标
（1）∵对称轴为直线x=- = ， ∴k=2， ∴抛物线的解析式为y=x 2-3x+2=（x- ） 2- ， ∴抛物线的顶点坐标专为（ ，- ）； （2）同意．理属由如下： ∵△=（2k-1） 2-4（k 2-k）=1＞0， ∴不论k取何值时，该抛物线与x轴总有两个交点； （3）令y=0，则x 2-（2k-1）x+k 2-k=0， ∵△=1， ∴x= 2k?1±
㈨ 抛物线C的方程为y=ax2（a＜0），过抛物线C上一点P（x0，y0）（x0≠0）作斜率为k1、k2的两条直线分别交抛
（1）解：由抛物线的方程y=ax2（a＜0）得，
焦点坐标为(0， )，…（2分） 准线方程为y＝? ．…（4分） （2）因为点P（1，-1）在抛物线y=ax 2上， 所以a=-1，抛物线方程为y=-x 2．…（5分） ∵设直线PA的方程为y-y 0=k 1（x-x 0），直线PB的方程为y-y 0=k 2（x-x 0）． 点P（x 0，y 0）和点A（x 1，y 1）的坐标是方程组
㈩ 抛物线y=-x2/2与过点m(0.-1)的直线l交于AB两点，o为坐标原点
y=-x^2/2
M(0,-1) A(x1,y1) B(x2,y2) k1=y1/x1, k2=y2/x2, k1+k2=1
直线l: y+1=kx
(kx-1)=-x^2/2
x^2/2+kx-1=0
x1+x2=-k/2
x1x2=-2
y1/x1=(-x1^2/2)/x1=-x1/2
y2/x2=(-x2^2/2)/x2=-x2/2
y1/x1+y2/x2=1
(-x1/2)+(-x2/2)=1
x1+x2=-2
-k/2=-2
k=4
y+1=4x
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