指数近世代数

① 抽象代数中证明指数为素数的子群必然是g的极大子群

设H《G且[G:H]=p为素数。
若存在G的子群M使得H<M,根据Lagrange定理|H|整除|M|,从而
[G:M]整除 [G:H]=p，所以[G:M]=1
即M=G
故H为极大子群

② 子群H={（1），（12）}在三次对称群中的指数是多少

3。
H(1)={(1),(12)}=H(12)
H(13)={(13),(123)}=H(123)
H(23)={(23),(132)}=H(132)
H有三个右陪集，指数为3。

③ 近世代数群的指数是什么

近世代数也俗称抽象代数，“指数”的概念是在群中出现的。

④ 近世代数:证明:指数是2的子群必是正规子群

证明：设H<G,[G:H]=2,对G中任意元a,有两种情况：
若a∉H，则aH≠H,Ha≠H，故G有陪集分解G=H∪Ha=H∪aH，所以Ha=aH=G-H
若a∈H，则显然aH=Ha=H
因此，aH=Ha对一切a∈G都成立，即H是正规子群。证毕。

⑤ 本人闲时学近世代数，里面有这样的一道题，证明：如果有限p-群G只有一个指数为p的子群，则G是一个循环群

题目没有问题么。。？ 应该有两个吧。 单位元也构成群。
如果G不是循环群，那么它里面元素的阶都应该小于p。因为e属于G，e,e^2,e^3……都属于G，如果不是小于p，那么G的阶也就大于p

⑥ 求近世代数大神解答第六题，详细点！

第（1）个是矩阵合同关系，
是等价关系。
第（2）个是矩阵置换相似关系，
也是等价关系。

实对称阵合同等价于[Ep,0,0;0,-Eq,0;0,0,0],其中p,q分别为正负惯性指数.
合同变换保持惯性指数,[Ep,0,0;0,-Eq,0;0,0,0]给出了实对称阵的合同标准型.
满足p+q ≤ n的有序非负整数对(p,q)共(n+1)+n+...+1+0 = (n+2)(n+1)/2组.
即共有(n+2)(n+1)/2个合同等价类.

实对称阵一定(正交)相似于实对角阵,
而两个对角阵(正交)相似当且仅当特征值完全相同(不计次序).
因此实对称阵的(正交)相似标准型为对角元λ1 ≤ λ2 ≤...≤ λn的实对角阵.
等价类有无穷多个.

⑦ 怎样算近世代数的左右陪集

这个看定义吧，很简单，陪集就是一个分划
左陪集aH={ah:对一切a∈G }，由于左陪集构成了一个分划，取一个不在aH中的G的元b，则
bH≠aH，类似取c∈G-aH-bH，……,一直到陪集包含了G中所有元为止！
注意对有限群G，H的陪集（不论左或右）指数都是│G│/│H│

⑧ 如图，中间的作业，近世代数求指数，

6
不难证明Q(2^1/3+3^1/2)=Q(2^1/3,3^1/2),所以[Q(2^1/3+3^1/2):Q]
=[Q(2^1/3，3^1/2):Q]=[Q(2^1/3,3^1/2):Q(2^1/3)][Q(2^1/3):Q]
=3[Q(2^1/3)(3^1/2):Q(2^1/3)],
显然3^1/2∉Q(2^1/3），故[Q(2^1/3)(3^1/2):Q]=2,因此[Q(2^1/3+3^1/2):Q]=3*2=6