求指数衰减振荡信号xteatsinω0t的频谱

❶ 求指数函数x（t）=sin(ψt)e^(-at)的频谱

函数的频谱亦即它的傅里叶变换，见链接图片

❷ 为什么在连续时间信号里频率ω0+2π和频率ω0是不一样的，但在离散时间复指数信号就是一样的

建议楼主买一本奥本海姆的书，这里主要的原因在于离散时间复指数信号的变量n取值只能是整数范围，因此将exp{j(ω0+2π)n}展开会发现无论n取何值exp{j2πn}=cos(2πn)+jsin(2πn)=1,这个等式在离散的情况下是恒等的,然而将离散变为连续后,exp{j2πt}=cos(2πt)+jsin(2πt),t是可以取任意实数的，故exp{j2πt}=cos(2πt)+jsin(2πt)不恒等于1即exp{j(ω0+2π)t}除了在t取正整数以外，是不等于ecp{jω0n}的，完毕，有问题可以追问~~分分分

❸ 频谱分析中如何选择合适的窗函数

加窗是为了减小泄漏!1、信号截断及能量泄漏效应 数字信号处理的主要数学工具是傅里叶变换。应注意到，傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系。然而，当运用计算机实现工程测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段，然后用观察的信号时间片段进行周期延拓处理，得到虚拟的无限长的信号，然后就可以对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。 周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。设有余弦信号x（t）在时域分布为无限长（- ∞，∞），将截断信号的谱XT(ω)与原始信号的谱X（ω）相比，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱。这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在f0处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏（Leakage）。 信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的，因为窗函数w(t)是一个频带无限的函数，所以即使原信号x(t)是限带宽信号，而在截断以后也必然成为无限带宽的函数，即信号在频域的能量与分布被扩展了。又从采样定理可知，无论采样频率多高，只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致一些误差，这是信号分析中不容忽视的问题。 如果增大截断长度T，即矩形窗口加宽，则窗谱W（ω）将被压缩变窄（π／T减小）。虽然理论上讲，其频谱范围仍为无限宽，但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快，因而泄漏误差将减小。当窗口宽度T趋于无穷大时，则谱窗W（ω）将变为δ（ω）函数，而δ（ω）与X（ω）的卷积仍为H（ω），这说明，如果窗口无限宽，即不截断，就不存在泄漏误差。 为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数，简称为窗。泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两侧p旁瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱，为此，在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。2、 常用窗函数 实际应用的窗函数，可分为以下主要类型： 幂窗：采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间函数x(t)的高次幂； 三角函数窗：应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复合函数，例如汉宁窗、海明窗等； 指数窗。：采用指数时间函数，如e-st形式，例如高斯窗等。 下面介绍几种常用窗函数的性质和特点。 (l) 矩形窗矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。 (2) 三角窗三角窗亦称费杰（Fejer）窗，是幂窗的一次方形式， 三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣(3) 汉宁窗汉宁（Hanning）窗又称升余弦窗，汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和，它可以使用旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。 汉宁窗与矩形窗的谱图对比，可以看出，汉宁窗主瓣加宽（第一个零点在2π/T处）并降低，旁瓣则显著减小。第一个旁瓣衰减一32dB，而矩形窗第一个旁瓣衰减-13dB。此外，汉宁窗的旁瓣衰减速度也较快，约为60dB/（10oct），而矩形窗为20dB/（10oct）。由以上比较可知，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗。但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。 (4) 海明窗海明（Hamming）窗也是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗，海明窗与汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。分析表明，海明窗的第一旁瓣衰减为-42dB。海明窗的频谱也是由 3个矩形时窗的频谱合成，但其旁瓣衰减速度为20dB/（10oct），这比汉宁窗衰减速度慢。海明窗与汉宁窗都是很有用的窗函数。 (5) 高斯窗是一种指数窗，高斯窗谱无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一55dB。高斯窗谱的主瓣较宽，故而频率分辨力低。高斯窗函数常被用来截断一些非周期信号，如指数衰减信号等。 除了以上几种常用窗函数以外，尚有多种窗函数，如平顶窗、帕仁（Parzen）窗、布拉克曼（Blackman）窗、凯塞（kaiser）窗等。 对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求。如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。3、窗函数选择指南如果在测试中可以保证不会有泄露的发生，则不需要用任何的窗函数（在软件中可选择uniform）。但是如同刚刚讨论的那样，这种情况只是发生在时间足够长的瞬态捕捉和一帧数据中正好包含信号整周期的情况。如果测试信号有多个频率分量，频谱表现的十分复杂，且测试的目的更多关注频率点而非能量的大小。在这种情况下，需要选择一个主畔够窄的窗函数，汉宁窗是一个很好的选择。如果测试的目的更多的关注某周期信号频率点的能量值，比如，更关心其EUpeak,EUpeak-peak,EUrms或者EUrms2，那么其幅度的准确性则更加的重要，可以选择一个主畔稍宽的窗，flattop窗在这样的情况下经常被使用。对冲击实验的数据进行分析时，因为在数据帧开始段的一些重要信息会被一般的窗函数所衰减，因此可以使用force/exponential窗。Force窗一移去了数据帧末端的噪声，对激励信号有用。而exponential窗则确保响应信号在末端的振动衰减为零值。

❹ 关于调频电路

你没有很好的理解频谱的概念。
频谱相当于一个表示频率成分的图，在幅频特性曲线上，一个频率，在频谱上是一个线（垂直于X轴），而高度就是这个频率信号的幅度值。
当然，如果一个信号中有两个以上的频率，在频谱上将出现两条以上的线，这些线可能是分开的，也可能是紧挨着的(看这些信号频率之间的关系，如果频率靠得非常近，频谱仪的灵敏度关系，也可能紧挨着)。
至于你说的调频问题，首先你要明白，调频的本质就是将信号电压变化通过VCO转换为频率变化。由于两者的对应关系并不是线性的，所以你看到的频率也会很杂乱，会随着时间变化而变化，某个特定时间点上你看到的某个频率，在下一个检测时间点上，未必一定就存在。各个时间段上的频率值，包括频率组成和幅度值都是不一样的。
但调频也有个特性就是，调频已调信号的频率虽然会变化，但它不会跳出一个范围，它与中心频率的偏离量就是最大频偏。

❺ 频谱定理

通过傅立叶正变换可以求一个时间信号f(t)的频谱F(ω)，对F(ω)进行反变换可以确定其对应的时间信号f(t)，它们具有单值对应关系。它们之间的内在关系称做频谱定理。

1.线性性质

既满足叠加性质又满足比例性质的关系称之为满足线性关系。

设

则

推广到多项求和仍然成立。

2.对称性

设

则

证明

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将上式中的ω换成t，t换成ω，则

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说明:若f(t)的傅立叶变换为F(ω)，则F(t)的傅立叶变换为2πf(-ω)，除差一系数2π外，具有相同的形式，但横坐标轴反转。对于实偶函数，由于f(t)=f(-t)，其频谱也是实偶函数F(ω)=F(-ω)，所以对于实偶函数，若

则

例已知方波脉冲的频谱为 ，试求低通滤波器的频谱函数F_ω0(ω)的时间特性F(t)。

由于方波脉冲函数是偶函数，根据对称性质有， ，见图3-3-1。

图3-3-1 方波函数傅氏变换的对称性质

3.展缩性质

若时间信号f(t)的波形沿时间轴压缩a倍，变为f(at)，则f(at)的谱比f(t)的谱F(ω)沿频率轴扩大a倍，而其幅度减小a倍，见图3-3-2。

即

则

或

式中a为实数，

图3-3-2 时间展缩性质

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当a<0时，f(at)的频谱为

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由时间展缩性质，信号愈宽，所占频带范围愈窄;信号愈窄，所占频带范围愈宽。

4.延时性质

设

则

证明f(t-t₀)的频谱

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只要把上式中的t₀换成-t₀，就可得到f(t+t₀)的频谱为

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由于

所以

说明信号延迟t₀以后，其振幅谱保持不变，而相位谱各分量相应滞后一个相角ωt₀。ωt₀是ω的线性函数，称为线性相位移动，以-ωt₀表示，负号表示滞后。一个波形延迟时间t₀后，波形保持不变，说明各频率分量都相应延迟时间t₀，这样其相角就延迟了ωt₀。

5.频移

若信号f(t)的频谱为F(ω)，即f(t)F(ω)，则

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说明时间函数f(t)乘以一个复指数函数e^jω0t后的信号的频谱将沿频率轴正方向平移ω₀;若时间函数f(t)乘以e^-iω0t，则其频谱将沿频率轴负方向平移ω₀，即

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综合两式

利用平移定理，求一个被高频信号调制的振荡信号的谱时，可以直接由调制信号的谱通过频移得到。

6.时域微分

若信号f(t)的频谱为F(ω)，即f(t)F(ω)，

则

说明，对f(t)微分n次后的信号的频谱函数等于原信号频谱函数的F(ω)乘以因子(jω)ⁿ

证明根据傅立叶变换公式

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所以

因为

推广到n阶，则有

利用时域微分性质，可根据时间函数的谱求其各阶导数的谱。

例如δ(t)1，根据微分定理

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7.时域积分

已知

则

证明因为

又

所以

又因为

比较以上两式的右端

即

8.频域微分

设时间函数

则

证明因为

所以

推广到n阶

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9.共轭性质

设时间函数f(t)F(ω)其中f(t)为复时间函数，即f(t)=f₁(t)+if₂(t)，则

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所以

说明:若f(t)是实时间函数，则f(t)=f^*(t)，于是F(ω)=F^*(-ω)或者F(-ω)=F^*(ω)即F(ω)是共轭对称的。因此，对一个实时间函数f(t)，它的频谱函数的实部R(ω)是偶对称的，即R(-ω)=R(ω);其虚部是奇对称的，即X(-ω)=-X(ω)。

10.翻转性质

设连续时间函数为f(t)，则f(-t)为f(t)的翻转信号。

翻转定理:设信号f(t)的频谱为F(ω)，则f(-t)的频谱为F(-ω)

证明:设f(t)F(ω)，

则f(-t)的频谱为

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11.时域褶积

设时间函数f₁(t)F₁(ω)，f₂(t)F₂(ω)，f₁(t)和f₂(t)褶积积分的频谱为F₁(ω)与F₂(ω)的乘积。

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证明

利用延时定理

所以

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12.频域褶积

设时间函数f₁(t)F₁(ω)，f₂(t)F₂(ω)，f₁(t)和f₂(t)乘积的频谱为F₁(ω)与F₂(ω)的褶积积分的1/2π倍。即

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13.乘积性质

设时间函数f₁(t)F₁(ω)，f₂(t)F₂(ω)，则f₁(t)·f₂(t)对所有时间积分就等于它们的频谱函数F₁(ω)本身和F₂(ω)的共轭函数(或F(ω)本身和F(ω)的共轭函数)对所有频率的积分。即

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证明

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由于e^iωt=(e^-iωt)^*，而f₁(t)是实时间函数，所以

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于是

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同理

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14.巴什瓦等式

设时间函数

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或写成

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称为巴什瓦等式。等式左边表示的是信号的总能量，该等式表明，信号的总能量可用其频谱的共轭乘积对所有的频率积分得到。F^*₁(ω)F₂(ω)称为互能谱密度，而|F(ω)^|2称为能谱密度，分别表示如下

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能谱密度

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能谱密度又称为功率谱。显然信号的功率谱是偶函数，S(ω)=S(-ω)，它只与信号的振幅谱有关，而与信号的相位谱无关。说明振幅谱相同而相位谱不同的信号具有相同的功率谱。